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Koordinatensystem
Ein Koordinatensystem dient der Positionsangabe von Punkten im Raum.
Die Position im Raum wird im gewaehlten Koordinatensystem durch Angabe von Zahlenwerten, den Koordinaten, eindeutig bestimmt. Mittels einzelner Punkte lassen sich dann durch mehrere Punkte bestimmte Objekte (Linien, Kurven, Abstaende, Flaechen, Koerper) angeben.
Die Anzahl der zur Beschreibung notwendigen Werte entspricht der Dimension des Raumes (oft als n abgekuerzt). Man fasst die Koordinaten eines n-dimensionalen Raumes dann auch als ein n-Tupel von Koordinaten auf.
Der Nullpunkt, bei dem alle Koordinaten den Wert 0 annehmen, nennt man den Koordinatenursprung.
Das am haeufigsten verwendete Koordinatensystem ist - dies gilt besonders für die Schulmathematik - das Kartesische Koordinatensystem.
Unterschiedliche Koordinatensysteme
Die Positionen desselben Punktes im Raum können in verschiedenen Koordinatensystemen dargestellt werden. In den unterschiedlichen Darstellungen wird diese durch unterschiedliche Koordinaten repraesentiert. Bei Systemen, die eine Symmetrie aufweisen kann man durch Darstellung in einem geeigneten Koordinatensystem erreichen, dass einzelne Koordinaten konstant bleiben. Z.B. genuegt zur Festlegung einer Position auf der Erdoberfäche, wenn es auf die Hoehe über Normalnull (genauer: Ortsabhaengigkeit des Erdradius) nicht ankommt, die Angabe von lediglich zwei Koordinaten (wie Laengengrad und Breitengrad), die dritte Koordinate ist durch den Erdradius festgelegt. Während sich in solchen Faellen die Verwendung sphaerischer Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten) anbietet, erfolgt die Beschreibung von Punkten auf einer Ebene im Raum hingegen einfacher in kartesischen Koordinaten: zwei Koordinaten sind variabel, die dritte ist (ohne Beschraenkung der Allgemeinheit) durch den konstanten Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung festgelegt.
Im Allgemeinen unterscheidet man zwischen geradlinigen (affinen) und krummlinigen Koordinatensystemen. Wenn außerdem Koordinatenlinien in jedem Punkt senkrecht aufeinander stehen, nennt man solche Koordinatensysteme orthogonal.
Beispiele:
* geradlinige Koordinatensysteme:
Vektorraum
* geradlinige orthogonale Koordinatensysteme:
Kartesisches Koordinatensystem
* krummlinige Koordinatensysteme:
Elliptische Koordinaten
* krummlinige orthogonale Koordinatensysteme:
ebene Polarkoordinaten und Zylinderkoordinaten
raeumliche und sphaerische Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten)
Toruskoordinaten
Transformationen zwischen Koordinatensystemen
Die Transformation zwischen unterschiedlichen Koordinatensystemen erfolgt durch Koordinatentransformation. Die unterschiedlichen Zahlenwerte der n-Tupel beschreiben dieselbe Position im Raum. Beim uebergang von geradlinigen (affinen) Koordinaten zu krummlinigen Koordinaten ist zur Berechnung von Groeßen wie Volumen die Funktionaldeterminante (Jacobi-Determinante) anzuwenden.
Koordinatenursprung
Der Koordinatenursprung bezeichnet den Punkt in einem Koordinatensystem oder einer Karte, an welchem alle Koordinaten den Wert Null annehmen. Er wird deshalb haeufig auch als Nullpunkt bezeichnet.
Spezielle Koordinatensysteme
Der uns umgebende und in Mathematik und Physik benutzte Raum ist der dreidimensionale euklidische Raum. Oft kann eine Raumdimension vernachlaessigt werden, so dass nur ein zweidimensionaler Raum zu betrachten ist. Unter Einbeziehung der Zeit entsteht der vierdimensionale Minkowskiraum der Relativitaetstheorie.
Diese Raeume lassen sich durch Kartesische Koordinaten beschreiben, das sind affine (geradlinige) Koordinaten, in der die Koordinaten entlang senkrecht aufeinander stehender Achsen gemessen werden.
Bei der Beschreibung in Polarkoordinaten werden der Abstand von einem festgelegten Koordinatenursprung und Winkel zu gegebenen Achsen als Koordinaten verwendet. Auch hier stehen die Koordinatenachsen senkrecht aufeinander, aber sie sind krummlinig.
Andere Koordinatensysteme werden in Bezug auf geometrische Objekte (Zylinder, Kegelschnitt) definiert: Zylinderkoordinaten, Hyperbolische Koordinaten.
Einige nur in Fachgebieten (z. B. Geodaesie, Geographie, Fernerkundung, Astronomie) gebraeuchliche Koordinatensysteme sind:
* Geographisches Koordinatensystem
* Soldner Koordinatensystem
* Gauß-Krueger-Koordinatensystem
* UTM-Koordinatensystem
* Astronomische Koordinatensysteme wie das ekliptikale oder galaktische
* Baryzentrische Koordinaten
* bewegte Koordinatensysteme
* rotierende Koordinatensysteme
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