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Bogenmaß

Das Bogenmaß gibt die Groeße eines ebenen Winkels als Verhältnis von Bogenlaenge zu Radius an. Fuer physikalische und mathematische Zwecke ist das Bogenmaß die natürliche Einheit zur Winkelmessung; für den Alltagsgebrauch ist es aber unpraktisch, da die ueblichen Winkel im Bogenmaß durch irrationale Zahlen beschrieben werden. Das Bogenmaß wird in der dimensionslosen SI-Einheit Radiant mit dem Einheitenzeichen rad, manchmal auch arc, gemessen.

Die Angaben Bogenminute und Bogensekunde beziehen sich nicht auf das Bogenmaß, sondern sind Teile der Einheit Grad.

Das Bogenmaß als SI-Einheit

Das Bogenmaß gibt die Groeße eines Winkels als Verhältnis von Bogenlaenge zu Radius in einem (gedachten) Kreis an. Spannt beispielsweise in einem Kreis mit einem Radius von 2 Metern ein Kreiswinkel eine Kreisbogenlaenge von 0,5 Metern auf, so berechnet sich das Bogenmaß mit 0,5 m / 2 m und beträgt folglich 0,25.

Der Umfang eines vollen Kreises ist das 2π-fache seines Radius (Radius x 2 x π); somit beträgt das Bogenmaß des zum Vollkreis gehoerenden Winkels 2π; dieser Winkel wird auch Vollwinkel genannt und ist in Deutschland eine gesetzliche Einheit im Messwesen, uebrigens eine ohne Einheitenzeichen.

Hinweis wegen eventueller Verwechslungsgefahr: Bis 31. Dezember 1977 war in Deutschland das Rad mit dem Einheitenzeichen rd gesetzliche Einheit der Energie- und aequivalentdosis; 1 rd = 1 cGy = 1 cJ/kg.

Das Bogenmaß ist dimensionslos.

Die Einheit für ebene Winkel ist im SI 1 m/m = 1. Fuer diese abgeleitete SI-Einheit darf bei der Angabe von ebenen Winkel auch der spezielle Name Radiant mit dem Einheitenzeichen rad benutzt werden. Diese Festlegung wurde von den deutschen Rechtsvorschriften über die gesetzlichen Einheiten im Messwesen übernommen. Danach darf der Radiant nicht zusammen mit SI-Vorsaetzen benutzt werden, es gibt also beispielsweise weder eine gesetzliche Einheit Millirad, noch ein gesetzliches Einheitenzeichen crad u. s. w. Im Gegensatz dazu wird bei den z. B. in der Nautik ueblichen Winkelangaben der Vollkreis in 360 Teile oder 360° (Grad) aufgeteilt und der Winkel als Vielfaches der Einheit Grad angegeben.

Taschenrechner und Computer

Wissenschaftliche Taschenrechner berechnen Winkelfunktionen wahlweise im Bogenmaß oder in Grad, manchmal zusaetzlich auch in Neugrad. Der Modus zur Berechnung im Bogenmaß ist auf den meisten Taschenrechnern mit rad gekennzeichnet, Grad mit deg und Neugrad mit grad, was bei Schuelern manchmal zu Verwechslungen führt.

In mathematischen Bibliotheken für Programmiersprachen verwenden die Winkelfunktionen stets das Bogenmaß. Um Gradangaben zu erhalten, müssen die obenstehenden Umrechnungsformeln angewandt werden.

Beispiel

Eine Zentrifuge dreht mit 1200 Umdrehungen pro Minute. Welche Zentripetalbeschleunigung wirkt bei einem Radius von 20 cm?

1200 Umdrehungen pro Minute entsprechen einer Frequenz von f = 20 Umdrehungen pro Sekunde; die Kreisfrequenz ist also \omega = 2\pi f \approx 125{,}7 rad pro Sekunde. Das ergibt eine Zentriptealbeschleunigung von a_{\rm Z} = \omega^2 r \approx 125{,}7^2 \cdot 0{,}2 \approx 3160 \frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}, das ist ca. die 320-fache Fallbeschleunigung an der Erdoberfäche.

Das Bogenmaß in der Mathematik

Winkelfunktionen

In der Mathematik tritt das Bogenmaß insbesondere bei den Winkelfunktionen Sinus und Kosinus auf. Fuer die Ableitungen dieser Funktionen gilt

wobei die Konstante c\; das Winkelmaß des vollen Kreises, also 360 für Altgrad oder 400 für Neugrad ist. Misst man im Bogenmaß, so ist c=2\pi\;, der Faktor ist 1, und die Formeln vereinfachen sich zu

Aus diesem Grund wird in der Differentialrechnung der Winkel ausschließlich im Bogenmaß gemessen.

Flaeche und Bogenmaß

Wenn x das Bogenmaß des Winkels ist, so ist die Flaeche des dazugehoerigen Kreissektors A = r2x / 2, also ist x = 2A / r2. Alternativ lässt sich daher das Bogenmaß auch als das doppelte Verhältnis von Kreissektorflaeche zu Quadrat des Radius oder auch als die doppelte Flaeche des entsprechenden Kreissektors am Einheitskreis definieren. Beispielsweise hat ein Viertel des Einheitskreises, also ein Winkel von \frac{\pi}{2} im Bogenmaß, eine Flaeche von A=\frac{\pi}{4}. Dieser Zugang ist unter anderem zweckmaeßig bei der Interpretation der Area-Funktionen als Flaechen, siehe dazu auch Kreis- und Hyperbelfunktionen.